矩阵论千题详解 pdf_《矩阵论千题详解：深度解读》

《矩阵论千题详解pdf：矩阵学习的得力助手》

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矩阵论典型题解析及自测试题

# 矩阵论典型题解析及自测试题

**一、典型题解析**

1. **特征值与特征向量问题**
- 典型例题：求矩阵\(a=\begin{pmatrix}2&1&1\\1&2&1\\1&1&2\end{pmatrix}\)的特征值和特征向量。
- 解析：先通过\(\vert\lambda i - a\vert = 0\)求特征值，即\(\vert\begin{pmatrix}\lambda - 2& - 1& - 1\\ - 1&\lambda - 2& - 1\\ - 1& - 1&\lambda - 2\end{pmatrix}\vert = 0\)，解得\(\lambda_1 = 1\)，\(\lambda_2=\lambda_3 = 4\)。然后分别代入\((\lambda i - a)x = 0\)求特征向量。对于\(\lambda = 1\)，得到特征向量\(k_1\begin{pmatrix}- 1\\1\\0\end{pmatrix}+k_2\begin{pmatrix}- 1\\0\\1\end{pmatrix}\)，\(k_1,k_2\)不全为零；对于\(\lambda = 4\)，特征向量为\(k\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\)，\(k\neq0\)。

2. **矩阵的相似变换问题**
- 典型例题：判断矩阵\(a=\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&0\\0&0&2\end{pmatrix}\)是否可相似对角化。
- 解析：求\(a\)的特征值为\(\lambda_1 = 1\)（二重），\(\lambda_2 = 2\)。对于\(\lambda = 1\)，\(r(\lambda i - a)=1\)，\(n - r(\lambda i - a)=2\)，有两个线性无关的特征向量，所以\(a\)可相似对角化。

**二、自测试题**

1. 求矩阵\(b=\begin{pmatrix}3&1&0\\ - 4& - 1&0\\4& - 8& - 2\end{pmatrix}\)的jordan标准形。
2. 设\(a=\begin{pmatrix}1&0&0\\1&2&0\\ - 1&0&1\end{pmatrix}\)，求\(e^{a}\)。

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