矩阵论千题详解 pdf_矩阵论千题详解：重点问题剖析

《矩阵论千题详解pdf：矩阵学习的得力助手》

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矩阵论典型题解析及自测试题

# 矩阵论典型题解析及自测试题

**一、典型题解析**

1. **特征值与特征向量问题**
- 例如求矩阵\(a=\begin{bmatrix}2&1&1\\1&2&1\\1&1&2\end{bmatrix}\)的特征值和特征向量。
- 首先根据特征方程\(\vert\lambda i - a\vert = 0\)，即\(\begin{vmatrix}\lambda - 2& - 1& - 1\\ - 1&\lambda - 2& - 1\\ - 1& - 1&\lambda - 2\end{vmatrix}=0\)。
- 展开行列式得到\((\lambda - 4)(\lambda - 1)^2 = 0\)，解得特征值\(\lambda_1 = 4,\lambda_2=\lambda_3 = 1\)。
- 对于\(\lambda_1 = 4\)，代入\((\lambda i - a)x = 0\)，即\(\begin{bmatrix}2& - 1& - 1\\ - 1&2& - 1\\ - 1& - 1&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}\)，解得特征向量\(k_1\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}(k_1\neq0)\)。
- 对于\(\lambda_2=\lambda_3 = 1\)，同理可得特征向量\(k_2\begin{bmatrix}-1\\0\\1\end{bmatrix}+k_3\begin{bmatrix}-1\\1\\0\end{bmatrix}(k_2,k_3不同时为0)\)。

2. **矩阵的相似变换问题**
- 若矩阵\(a\)可相似对角化，求可逆矩阵\(p\)使\(p^{-1}ap=\lambda\)。
- 以上述矩阵\(a\)为例，\(p=\begin{bmatrix}1& - 1& - 1\\1&0&1\\1&1&0\end{bmatrix}\)，\(\lambda=\begin{bmatrix}4&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\)。

**二、自测试题**

1. 求矩阵\(b=\begin{bmatrix}3&1&0\\ - 4& - 1&0\\4& - 8& - 2\end{bmatrix}\)的特征值和特征向量。
2. 判断矩阵\(c=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&1\\0&0&1\end{bmatrix}\)是否可相似对角化，若可以，求出相似变换矩阵。

通过对典型题的解析和自测试题的练习，可以加深对矩阵论知识的理解和掌握。

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