矩阵论千题详解 pdf_《矩阵论千题详解》内容概览

《<矩阵论千题详解pdf>：矩阵学习的得力助手》

《矩阵论千题详解pdf》是矩阵论学习领域的一份宝贵资料。它犹如一座知识宝库，容纳了千道精心挑选的矩阵论相关题目。

这份pdf详细地对每一道题进行解答。无论是矩阵的基本运算，如加法、乘法，还是复杂的特征值、特征向量求解以及矩阵变换等内容，都能在其中找到清晰的阐释。对于学习者来说，它提供了系统的解题思路和规范的解答步骤。无论是准备相关考试的学生，还是从事矩阵理论研究的学者，都可以通过仔细研读这份pdf加深对矩阵论的理解，从而提升解决矩阵相关问题的能力。

矩阵论典型题解析及自测试题

# 矩阵论典型题解析及自测试题

**一、典型题解析**

1. **特征值与特征向量**
- 例：求矩阵\(a=\begin{bmatrix}2&1&1\\1&2&1\\1&1&2\end{bmatrix}\)的特征值和特征向量。
- 解析：先求特征多项式\(\vert\lambda i - a\vert\)，其中\(i\)为单位矩阵。计算可得\(\vert\lambda i - a\vert = (\lambda - 1)^2(\lambda - 4)\)，特征值为\(\lambda_1 = 1\)（二重根），\(\lambda_2=4\)。对于\(\lambda_1 = 1\)，解齐次线性方程组\((i - a)x = 0\)，得到基础解系\(\xi_1=\begin{bmatrix}-1\\1\\0\end{bmatrix},\xi_2=\begin{bmatrix}-1\\0\\1\end{bmatrix}\)，这就是属于\(\lambda_1 = 1\)的特征向量。对于\(\lambda_2 = 4\)，解\((4i - a)x = 0\)得特征向量\(\xi_3=\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}\)。

2. **矩阵的相似变换**
- 例：判断矩阵\(a=\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}\)是否可相似对角化。
- 解析：求\(a\)的特征值，\(\vert\lambda i - a\vert=\begin{vmatrix}\lambda - 1& - 1\\0&\lambda - 1\end{vmatrix}=(\lambda - 1)^2\)，特征值\(\lambda = 1\)（二重根）。再求\((i - a)x = 0\)的基础解系，只有一个向量\(\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}\)。由于\(a\)是二阶矩阵，特征向量个数小于阶数，所以\(a\)不可相似对角化。

**二、自测试题**

1. 求矩阵\(b=\begin{bmatrix}3&1&0\\ - 4& - 1&0\\4& - 8& - 2\end{bmatrix}\)的jordan标准形。
2. 设\(a=\begin{bmatrix}1&2&3\\2&1&3\\3&3&6\end{bmatrix}\)，求\(a\)的奇异值分解。

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