常用不等式 pdf_常用不等式：性质与应用解析

# 常用不等式

**一、均值不等式**

对于正实数 \(a\)，\(b\)，有\(\frac{a + b}{2}\geqslant\sqrt{ab}\)，当且仅当 \(a=b\)时等号成立。它在求最值等问题中有广泛应用。例如，已知矩形周长为定值，求面积最大值时就可利用均值不等式。

**二、柯西不等式**

设\(a,b,c,d\in r\)，则\((a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})\geqslant(ac + bd)^{2}\)。它在证明不等式、求解向量相关问题等方面有重要作用。

**三、绝对值不等式**

\(\vert a\vert-\vert b\vert\leqslant\vert a + b\vert\leqslant\vert a\vert+\vert b\vert\)。在分析含有绝对值的函数值域、求解方程等问题中经常用到。这些常用不等式在数学分析、代数等多个领域都是重要的工具，熟练掌握能有效解决各类数学问题。

高数常用不等式

《高数常用不等式》

在高等数学中，有一些常用不等式发挥着重要作用。

均值不等式是基本的一个，对于正实数\(a,b\)，有\(\frac{a + b}{2}\geq\sqrt{ab}\)，当且仅当\(a = b\)时等号成立，它在求最值等问题中有广泛应用。

柯西不等式\((\sum_{i = 1}^{n}a_{i}b_{i})^2\leq(\sum_{i = 1}^{n}a_{i}^{2})(\sum_{i = 1}^{n}b_{i}^{2})\)。在证明不等式、求解函数极值等方面很有用。

还有三角不等式\(\vert\vert a\vert-\vert b\vert\vert\leq\vert a + b\vert\leq\vert a\vert+\vert b\vert\)，在处理与向量、复数等相关的模长关系时经常用到。这些不等式为高数的理论推导、解题提供了有力的工具。

常用不等式 pdf

**《常用不等式》**

常用不等式在数学的各个领域都有着重要的地位。

最基本的当属均值不等式，对于正实数a、b，有$\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}$，当且仅当a = b时等号成立。它在求最值等问题上非常有用。

还有绝对值不等式，$|a| - |b| \leq |a + b| \leq |a|+|b|$，这个不等式在分析函数的取值范围、证明一些与距离有关的命题时起到关键作用。

柯西不等式$(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})\geq (ac + bd)^{2}$也极为重要，在向量、几何、求函数极值等方面有着广泛的应用。这些常用不等式是数学学习和研究中的有力工具，帮助我们解决多种复杂的数学问题。

常用不等式放缩公式

《常用不等式放缩公式》

不等式放缩在数学分析、证明等方面有重要意义。常见的放缩公式如均值不等式，对于正实数a、b，有$\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}$，可用于将和与积之间进行放缩转换。

再如，$n(n - 1) < n^{2}< n(n + 1)$（n为正整数），在涉及数列求和等问题中经常用到。还有$\frac{1}{n^{2}}<\frac{1}{n(n - 1)}=\frac{1}{n - 1}-\frac{1}{n}$（n≥2），这个放缩公式在数列的裂项相消求和中是很有力的工具。这些不等式放缩公式帮助我们简化问题、估计范围，是解决许多数学难题的关键技巧。