常用不等式 pdf_常用不等式的深入理解与推导

# 常用不等式

**一、均值不等式**

对于正实数\(a\)、\(b\)，有\(\frac{a + b}{2}\geq\sqrt{ab}\)，当且仅当\(a = b\)时等号成立。它在求最值问题中有广泛应用，例如已知\(x>0\)，求\(x+\frac{1}{x}\)的最小值。由均值不等式，\(x+\frac{1}{x}\geq2\sqrt{x\times\frac{1}{x}} = 2\)，当\(x=\frac{1}{x}\)即\(x = 1\)时取到最小值\(2\)。

**二、柯西不等式**

设\(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\)与\(b_{1},b_{2},\cdots,b_{n}\)为实数，则\((a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots+a_{n}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+\cdots+b_{n}^{2})\geq(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots+a_{n}b_{n})^{2}\)。柯西不等式在证明不等式、求解向量相关问题等方面发挥重要作用。

常用不等式是数学分析、优化等众多领域的有力工具。

常用不等式公式考研

《考研之常用不等式公式》

在考研数学中，不等式公式是非常重要的内容。基本不等式如均值不等式，对于正数a、b，有$\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}$，当且仅当a = b时等号成立。它在求最值等问题中频繁出现。

柯西不等式也不容小觑，$(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})\geq(ac + bd)^{2}$。在解决向量、函数等相关的不等式证明与求解中起到关键作用。

还有绝对值不等式，$\vert a\vert-\vert b\vert\leq\vert a + b\vert\leq\vert a\vert+\vert b\vert$，有助于分析含绝对值函数的取值范围等。掌握这些常用不等式公式，能在考研数学的多种题型中灵活运用，提高解题效率和准确率。

常用不等式ln(1+x)小于x

《关于不等式ln(1 + x) < x》

在数学中，有一个常用的不等式ln(1 + x) < x（x > 0）。从函数的角度来看，设y = x - ln(1 + x)，对其求导，y' = 1 - 1/(1 + x)=x/(1 + x)。当x > 0时，y' > 0，这表明函数y在(0, +∞)上单调递增。又因为当x = 0时，y = 0，所以当x > 0时，y > 0，即x - ln(1 + x)>0，也就是ln(1 + x) < x。这个不等式在极限计算、函数的近似估计等方面有着广泛的应用。例如在一些复杂函数极限求解中，利用该不等式可以进行合理放缩，从而简化计算过程，是数学分析等学科中的重要工具。

常用不等式公式大全

《常用不等式公式大全》

在数学中，不等式是非常重要的内容。

基本不等式：对于正实数a、b，有\(a + b\geq2\sqrt{ab}\)，当且仅当a = b时等号成立。

绝对值不等式：\(\vert a\vert-\vert b\vert\leq\vert a + b\vert\leq\vert a\vert+\vert b\vert\)。它在分析含有绝对值的式子关系时很关键。

还有三角不等式，在向量等领域广泛应用。对于实数a、b、c，若\(a < b\)且\(b < c\)，则\(a < c\)，这是不等式的传递性。这些常用不等式公式在解决函数最值、证明不等式、分析几何关系等众多数学问题中起着不可替代的作用，是深入学习数学的重要工具。