常用不等式 pdf_常用不等式的性质与应用

# 常用不等式

**一、基本不等式**

对于任意正实数\(a\)、\(b\)，有\(\frac{a + b}{2}\geqslant\sqrt{ab}\)，当且仅当\(a = b\)时等号成立。它在求最值问题中有广泛应用，例如已知\(x>0\)，求\(y=x+\frac{1}{x}\)的最小值。根据基本不等式\(y=x+\frac{1}{x}\geqslant2\sqrt{x\times\frac{1}{x}} = 2\)，当且仅当\(x=\frac{1}{x}\)即\(x = 1\)时取到最小值\(2\)。

**二、绝对值不等式**

\(\vert a\vert-\vert b\vert\leqslant\vert a + b\vert\leqslant\vert a\vert+\vert b\vert\)。这个不等式在分析含有绝对值的函数性质、求解不等式方程等方面十分有用。例如求解\(\vert x - 1\vert+\vert x+2\vert<5\)就需要依据绝对值不等式的性质来分析不同区间内的情况。这些常用不等式是数学分析、代数等众多领域的重要工具。

常用不等式公式考研

《考研中的常用不等式公式》

在考研数学中，常用不等式公式是重要考点。基本不等式如均值不等式，对于正实数$a$、$b$，有$\frac{a + b}{2}\geq\sqrt{ab}$，当且仅当$a = b$时等号成立，它在求最值等问题中有广泛应用。

柯西不等式也极为关键，$(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})\geq(ac + bd)^{2}$。在向量、函数最值等题型里，柯西不等式提供了独特的解题思路。

还有绝对值不等式$\vert a\vert-\vert b\vert\leq\vert a + b\vert\leq\vert a\vert+\vert b\vert$，这有助于处理含绝对值的函数关系、证明不等式等。熟练掌握这些不等式公式，能够快速分析问题、简化计算过程，是考研数学取得理想成绩的必备基础。

常用不等式ln(1+x)小于x

《关于不等式ln(1 + x) < x》

在数学中，不等式ln(1 + x) < x有着广泛的应用。当x > 0时，这一不等式恒成立。

从函数图象角度来看，y = ln(1 + x)和y = x的图象能直观地体现这种关系。y = x是一条过原点的直线，而y = ln(1 + x)的图象在x > 0时位于y = x图象的下方。

从导数角度分析，设f(x)=x - ln(1 + x)，对其求导得f'(x)=1 - 1/(1 + x)=x/(1 + x)。当x > 0时，f'(x)>0，说明f(x)在(0,+∞)单调递增。又因为f(0)=0，所以当x > 0时，f(x)>0，即ln(1 + x) < x。这个不等式在极限计算、不等式证明等多方面都有着重要的意义。

常用不等式公式大全

《常用不等式公式大全》

常见的不等式公式在数学学习与研究中有重要意义。基本不等式为：对于正实数a、b，有\(\frac{a + b}{2}\geq\sqrt{ab}\)，当且仅当a = b时等号成立。

绝对值不等式\(\vert a\vert-\vert b\vert\leq\vert a + b\vert\leq\vert a\vert+\vert b\vert\)。

柯西不等式\((a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})\geq(ac + bd)^{2}\)，在向量等领域有广泛应用。

这些不等式公式在解决最值问题、证明不等式等方面大有用途。例如基本不等式可求函数的最值，绝对值不等式在分析变量范围时起到关键作用，柯西不等式在几何、物理等多学科相关数学问题中有独特的应用价值。