泛函分析中的反例pdf_泛函分析反例的典型应用

**标题：泛函分析中的反例**

在泛函分析中，反例有着重要的意义。

泛函分析研究的是无限维空间上的函数、算子等。例如，在赋范空间的完备性概念里，有理数空间相对于通常的绝对值范数是不完备的。这就是一个典型反例，它表明并非所有赋范空间都是完备的，与实数空间（完备的赋范空间）形成鲜明对比。

又比如，存在有界线性算子，其逆算子不存在。这一情况与有限维空间中可逆矩阵（可视为有限维空间上的线性算子）的情况不同，有限维时可逆性的判定相对简单，而在泛函分析的无限维空间下就有了特殊的反例情况。这些反例有助于深入理解泛函分析概念的本质、界限和特殊情形。

泛函分析中的反例

《泛函分析中的反例》

在泛函分析中，反例有着重要意义。例如，在赋范空间中，一般认为有界线性算子能保持很多良好性质，但存在反例表明并非总是如此。

考虑空间 $l^1$（所有绝对可和序列构成的空间）到 $l^2$（平方可和序列空间）的包含映射 $t$，它是线性的。虽然 $l^1$ 中的单位球是有界集，但 $t$ 作用下这个有界集的像在 $l^2$ 中不是相对紧的。这个反例打破了可能存在的直觉，即有界线性算子作用于有界集总会得到具有较好紧性性质的像集。它提醒我们在泛函分析的研究中，不能仅凭直觉判断，反例有助于更深入准确地理解概念和定理的边界条件。

泛函分析的问题与反例

# 泛函分析中的问题与反例

**一、问题**

在泛函分析中，考虑赋范空间$(x, \|\cdot\|)$，若$\{x_n\}$是$x$中的一个序列，且$\lim\limits_{n \to \infty} \|x_n - x\| = 0$（$x\in x$），问是否一定有$\lim\limits_{n \to \infty} \|x_n\|=\|x\|$？

**二、反例**

设$x = \mathbb{r}$，定义范数为通常的绝对值范数$\|\cdot\|$。令$x_n=- \frac{1}{n}$，$x = 0$。

则$\lim\limits_{n\to\infty}\|x_n - x\|=\lim\limits_{n\to\infty}\left|-\frac{1}{n}- 0\right|=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0$。

但是$\|x_n\|=\left|-\frac{1}{n}\right|=\frac{1}{n}$，$\lim\limits_{n\to\infty}\|x_n\| = 0$，而$\|x\| = 0$，在这个例子中满足$\lim\limits_{n \to \infty} \|x_n - x\| = 0$时，确实有$\lim\limits_{n \to \infty} \|x_n\|=\|x\|$。然而这个结论不是对所有赋范空间中的序列都必然成立的，只是这个例子不是反例，实际存在更复杂空间中的反例可以说明此结论不总是成立。

泛函分析新讲

《泛函分析新讲》

泛函分析是现代数学的一个重要分支。在这一领域的新发展中，有着诸多令人瞩目的特点。

从理论角度看，新的泛函分析更加注重抽象空间的深入研究，如各种函数空间的精细性质。它不断拓展着对算子理论的认知，包括线性与非线性算子。在应用方面，新讲的泛函分析与物理学、工程学等领域的联系日益紧密。在量子力学中，泛函分析提供了描述量子态和可观测量的有力工具。同时，在信号处理等工程领域，其对函数空间的分析有助于优化信号的传输与处理。泛函分析新讲不仅推动着数学内部理论的完善，也为跨学科的发展奠定了坚实的数学基础，展现出无限的潜力。